目录
1 自由度 /degree of freedom / df
1.1 物理学的自由度
1.2 数学里的自由度
1.2.1 数学里的自由度
1.2.2 用线性代数来理解自由度（需要补充）
1.2.3 统计里的自由度
1.3 统计学里自由度的定义
2 不同对象的自由度
2.1 纯公式的自由度：纯公式，没采样无样本时
2.2 抽样分析时：纯样本的自由度
2.3 公式里某个特定变量的自由度
3 自由度的公式
3.1 自由度的基础公式 df=n-k
3.2 ESS 残差平方和的误差 df=n-k-1
3.3 回归方程的自由度, df=n-k-1=n-1
3.3.1 一元线性回归
3.3.2 多元线性回归
4 参考
1 自由度 /degree of freedom / df
1.0 自由度的经典总结
1.0.1 非统计时
自由度df=不受约束自变量的个数因变量不自由x1+x2=1 这里可以认为有1个约束，也可以认为其中一个是因变量
1.0.2 统计时
自由度=样本个数-样本数据受约束条件的个数样本个数越多越自由抽象的公式的自由度：不受约束自变量的个数每引入一个统计量/加1个约束，就会少一个自由度
1.1 物理学的自由度
理论力学：（下面这段摘自网上）
确定物体的位置所需要的独立坐标数称作物体的自由度，当物体受到某些限制时——自由度减少。一个质点在空间自由运动，它的位置由三个独立坐标就可以确定，所以质点的运动有三个自由度。假如将质点限制在一个平面或一个曲面上运动，它有两个自由度。假如将质点限制在一条直线或一条曲线上运动，它只有一个自由度。刚体在空间的运动既有平动也有转动，其自由度有六个，即三个平动自由度x、y、z和三个转动自由度a、b、q。如果刚体运动存在某些限制条件，自由度会相应减少。
1.2 数学里的自由度
1.2.1 数学里的自由度
数学上，自由度是一个随机向量的维度数也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数
1.2.2 用线性代数来理解自由度（需要补充）
从线性代数的角度理解自由度就是向量/矩阵/张量的维度，秩。最少需要用几个维度来现实就是自由度.
1.2.3 统计里的自由度
样本容量越大，自由度就越高，就越趋近于正态分布，实验就更加合理下图时转载的，文章链接附在最后
1.3 统计学里自由度的定义
自由度通常用于抽样分布中。
统计学中：在统计模型中，自由度指样本中可以自由变动的独立不相关的变量的个数，当有约束条件时，自由度减少。
样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度。自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。
2 不同对象的自由度
通用的自由度公式，都是n-k。但是不同对象下的DF的意义不同
如果讲的是公式的自由度，是自变量的个数 df=n如果讲的是样本的自由度，是样本的数量减去约束条件个数，df=n-k如果讲的是某个公式里某个特定变量的自由度，是样本的数量减去约束条件个数，df=n-k
2.1 纯公式的自由度：纯公式，没采样无样本时
抽象的公式的自由度：不受约束自变量的个数不受约束的自变量个数就是公式的自由度。
举例：
一元线性回归：y=ax+b
x是自变量，自由度1y是因变量，没有自由度总自由度1多元线性回归：y=a1X1+a2X2+......anXn
x是自变量，自由度ny是因变量，没有自由度总自由度n
2.2 抽样分析时：纯样本的自由度
样本的自由度=n-k样本数量n关于样本的约束条件k，比如用到了样本的均值，就少1个自由度总结：引入一个统计量，就会少一个自由度
举例
a+b=1，其中a,b都是变量，那么总自由度为1，因为若a为变量，b会受到1-a的约束，所以不自由。自由度=2个自变量-1被限制的自变量=1总体平均数,u=average(x)。因为总体内，每个样本都是独立的，所以自由度就是总体的容量n样本平均数，average(xi) ，假设有10个样本，平均数=1，那只有前9个数可以自由取值，第10个数，一定得受到平均值得约束，因此自由度=n-1=10-1=9 总体方差，公式为样本方差，公式为,因为本身是一个样本的约束，所以自由度=n-1
2.3 公式里某个特定变量的自由度
如果讲的是公式里某个特定变量的自由度，是样本的数量减去约束条件个数，df=n-k通用的公式都是这个，df=n-k但是还可以细分，下面详细展开
3 自由度的公式
3.1 自由度的基础公式 df=n-k
自由度计算公式：自由度=样本个数-样本数据受约束条件的个数，即df = n - k（df自由度，n样本个数，k约束条件个数）
df=n-k。自由度df：
不受限制的变量个数 不受限制的样本个数n：
自变量个数 样本数量k：
被限制的条件数或变量个数或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。这些变量之间的有公式关系等形成的约束个数（应该要减掉一些线性相关的约束）
3.2 ESS 残差平方和的误差 df=n-k-1 （比n-k多出的-1是指那个截距参数）
需要考虑2方面模型中自变量的个数，+自由度模型中有几个未知数就要消耗几个自由度，-自由度
举例
观测值y预测值y^一元线性回归模型 y＝b0＋b1X＋ε，因为每个y^都是用这个模型估算出来的y^-y的误差就是残差，也就是εb0 常数，截距b1 自变量x的参数，未知，需要求ε 残差，残差的均值=0
另外，我们心中有一个理想模型y＝b0＋b1X （虽然不一定存在，不能能找到），但是我们相信我们的观测值符合一个这样的理想直线模型（否则我们也不会用线性回归，而是用曲线或者其他了^ ^）y^观测值,记录下来理想模型的y观测值：y=b0+b1X ESS=Σ(y^-y)**2 =Σ(y^-b0+b1X)**2
残差平方和 ESS 的自由度 残差平方和 ESS=Σ(y^-y)**2，因为因为每个y^=b0＋b1X，包含2个参数b0,b1 因此需要确定这2个参数，就需要2个约束才能算出来为什么2个参数需要2个约束：因为解方程的需要，而且这2个约束还不能是线性相关的才行。因此有几个未知参数就消耗几个自由度所以:
一元线性回归的ESS的自由度df = n-k-1=n-1-1=n-2多元线性回归的ESS的自由度 df =n-k-1其中k 是变量个数，1是截距常量个数。
3.3 回归方程的自由度, df=n-k-1=n-1
3.3.1 一元线性回归
回归方程 y＝b0＋b1X其中自变量X，只有1个，自由度+1而参数是2个，也就是2个未知数，b0 和b1，自由度-2如果有n个样本那么回归方程的自由度= n-2+1=n-1
3.3.2 多元线性回归
回归方程 y＝b0＋b1X+b2X+....+bkX，其中自变量X，有k个自变量，自由度+k而参数是k+1个，所有x的参数，还一个一个截距。这些都是未知数。如果有n个样本那么回归方程的自由度= n+k-(k+1)=n-1
4 参考
【弱鸡版】什么回归中自由度（degrees of freedom），就是这么简单！ - 知乎自由度是什么？我们先来百度一下： “自由度(degree of freedom, df)指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。 其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它…https://zhuanlan.zhihu.com/p/607458488
一元线性回归模型中残差平方和的自由度为什么是n-2 - 爱问频道 - 经管之家(原人大经济论坛)一元线性回归模型中残差平方和的自由度为什么是n-2,一元线性回归模型中残差平方和的自由度为什么是n-2？,经管之家(原人大经济论坛)https://bbs.pinggu.org/thread-640905-1-1.html
下面这个解释了多种DF的定义，可惜我还没仔细看~~
统计学“自由度”详解 - 知乎本文皆为个人看法，才疏学浅，如果有不妥不准确的对方，还请指正。有些数学推导可能显得不严谨，主要是为了数学基础薄弱的同学能看懂。 “自由度”是统计学中一个很不好懂的概念，因为它的定义有好几个，而每个定…https://zhuanlan.zhihu.com/p/81099139